1. Un punto es lo que no tiene partes.
2. Un línea es una longitud sin anchura.
3. Los extremos de una línea son puntos.
4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.
5. Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.
6. Los extremos de una superficie son líneas.
7. Una superficie plana es aquella superficie que yace por igual respecto de las líneas que están en ella.
8. Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta.
9. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.
10. Cuando una línea recta que está sobre otra hace que los ángulos adyacentes sean iguales, cada uno de los ángulos es recto, y la recta que está sobre la otra se llama perpendicular a la otra recta.
11. Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.
12. Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto.
13. Un límite es lo que es extremo de algo.
14. Una figura es aquello que está contenido por cualquier límite o límites.
15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.
16. Y el punto se llama centro del círculo.
17. Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales.
18. Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia cortada por él. El centro del semicírculo es el mismo que el del círculo.
19. Figuras rectilíneas son aquellas que están comprendidas por líneas rectas, triláteras las comprendidas por tres, cuadriláteras les comprendidas por cuatro y multiláteras les comprendidas por más de cuatro líneas rectas.
20. De los triángulos, el equilátero es el que tiene los tres lados iguales; isósceles el que tiene dos lados iguales y uno de desigual; y escaleno el que tiene los tres lados desiguales.
21. De los triángulos, triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso y acutángulo el que tiene los tres ángulos agudos.
22. De los cuadriláteros, cuadrado es el que tiene los lados iguales y los ángulos rectos; rectángulo el que es rectangular pero no equilátero; rombo el que es equilátero, pero no tiene los ángulos rectos; y romboide el que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales, pero ni es equilátero ni tiene los ángulos rectos. Los otros cuadriláteros se llaman trapecios.
23. Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.
Definiciones Libro I
Elementos de Euclides
14 comentarios:
Dedicado a los Reyes Magos.
¿La fórmula "yace por igual respecto de los puntos que están en ella" es equivalente a la definición de la linea recta según la cual es "la distancia más corta entre dos puntos"? Kant pone la definición de linea recta "distancia más corta entre dos puntos" como un ejemplo de juicio sintético (el sujeto no está incluido en el predicado, y por tanto, es extensivo o informativo) y a priori (no conocemos su verdad a través de los sentidos, sino que es una ley pura del espacio). ¿Sería "yace por igual respecto a los puntos que están en ella" un juicio sintético a priori? O analítico a priori? (es decir, el predicado está incluido en el sujeto, con lo cual no sería informativa)?
Ufff... a ver... primero de todo la definición de Kant de la recta no es equivalente a la de Euclides.
Los griegos tenían tres representaciones básicas de la línea recta; la de un hilo tenso, la de un rayo de luz y la de un eje o lugar de los puntos que se mantienen inmóviles en un cuerpo fusiforme suspendido por ambos extremos (Mugler). Se cree que la definición de Euclides está basada en la del rayo de luz, con lo que sería una definción que está basada en la experiencia, con lo que para mí que no es un juicio a priori. Síntetico o analítico, no se tendría que meditarlo con más tiempo... así a bote pronto diría que es analítica porque me parece más explicativa que informativa pero no se creo que Joan puede hacer mejor juicio que yo al respecto...
Las definiciones de recta de los griegos no fueron demasiado afortunadas, la que más fue la de Arquímedes en 'Sobre la Esfera y el Cilindro', que dice: "La recta es la más corta de todas las líneas que tienen los mismos extremos".
Un apunte matemático que creo que no tiene mucho que ver con esto de los juicios pero que me apetece poner sobre la definición de recta que pone como ejemplo Kant (pa dar algo de culturilla matemática a este blog tan literario y filosófico...), actualmente la distancia más corta entre dos puntos es la definición de Geodésica; la de recta sería la distancia más corta entre dos puntos del plano. De hecho la recta es una geodésica del plano.
Evidentemente, si la definición tiene que estar basada en alguna representación, la cuestión ya está respondida: es a posteriori. Si la definición "depende" de un modelo sensible o representable, sea cual sea éste ya no hay discusión. Pero no está claro que la cuestión de la "distancia más corta entre dos puntos" sea un modelo de representación más de la recta o, en cambio, es una ley pura que se tiene que cumplir para todo espacio posible.
Y respecto a tu ampliación conceptual matemática, evidentemente es muy bienvenida. En principio este era un blog de literatura, pero aquí se instalan de "okupas" todo tipo de saberes, así que si se le permite la entrada a la filosofía, no veo porqué no permitir la entrada a su hermana la matemática. De hecho, ya puestos, permíteme preguntar, como profano: ¿es la recta un ente ideal y la geodésica un ente real? Si dices que la recta es una geodésica del plano entiendo que esto no puede ser, porque el plano es un ente ideal, pero no sé qué carácter de idealidad o de realidad le corresponde a cada uno de ambos entes. ¿Son ambos entes ideales y tiene que ver la distinción entre geodésica y recta con la distinción entre plano y superficie?
1. Un punto es lo que no tiene partes.
Si no tiene partes, ¿cómo puede ser, es decir, existir?
No sé qué responderá el matemático, però un punto puede "ser" (más que "existir") porque es un ente "ideal"; es decir, no es una cosa "real", es una idea, un concepto. Los entes ideales se caracterizan porque no existen en el espacio y en el tiempo y no están capacitados para establecer relaciones causales en el mundo físico. No son objetos del mundo, sino objetos ideales que señalan las estructuras que debería recoger cualquier mundo posible.
3. Los extremos de una línea son puntos.
De acuerdo Joan. Pero resulta desconcertante que la base de la geometría sea algo tan abstracto. Es curioso que para llegar a definiciones tan breves y entendibles haya que recurrir a conceptos tan absolutos e inimaginables.
La matemáticA de por aquí responde que el comentario de Joan respecto al punto le parece correcto.
Sí Bartlobio, que no te desconcierte, la geometría como el resto de las matemáticas no es que estén basadas en algo abstracto, sinó que SON abstractas.
La matématica es un ciencia muy cercana a la filosofía, no es el conjunto de resultados que se pueda ver en las ingenierías o cualquier otro estudio en la que se apliquen, eso es sólo eso, resultados no lo que son las matemáticas en sí.
Respecto al tema de las geodésicas luego cuando tenga un poquillo más de tiempo y paz en casa contestaré a las dudas de Joan.
Un apunte sobre los Elementos, la geometría actualmente no se 'basa' en sus premisas, pero es bueno saber que hasta el siglo pasado ha sido la referencia en geometría. De hecho que sepáis en la pedantoteca que es el segundo libro más editado (editado, impreso, vendido... no se ara que plabra exactamente) de la historia después de la Biblia, ni Shakespeare, ni Cervantes, ni literatos de estos... bueno, a ver era el segundo cuando yo estudiaba (esta era la típica anecdota del profe de geometría) pero ahora lo mismo el segundo es Harry Potter o algun libro de moda...
Un apunte final, quizas digo alguna barbaridad porqué la geometría no es mi campo, pero es que no he conseguido todavía que el geómetra de la familía se mire esto... tiene muuuuchooo trabajo (y yo no)...
Vuelvo otra vez a por el tema de las geodésicas.
Tanto las rectas, como los puntos como las geodésicas son, creo yo entes ideales, las geodésicas digamos que son de la misma calaña que las rectas o los puntos, desde el punto de vista de ente filosófico, o sea son algo abstracto que definimos en nuestros mundos de yupi. No sé, alguien ha visto una recta, un punto o una circunferencia o incluso una geodésica por la calle paseando ?
La geometría Euclídea es básicamente la geometría de una superficie plana, aceptada como en 'la que vivimos' por muchos siglos, y después como que un plano es una buena aproximación para las distancias cortas en las que nos movemos ha subsistido bastante bien hasta hace poquito.
Pero en realidad vivimos sobre una esfera (o casi-esfera) entonces, cual es el camino más corto entre dos puntos como por ejemplo BCN y NY? una recta ? no, será un arco de circumferencia en nuestro caso... cuando son dos puntos muy cercanos aproximamos sobre el plano tangente a la superficie de la esfera, pero en realidad con puntos lejanos utilizamos las curvas que están sobre la superficie de nuestra casi-esfera Tierra. La curva más corta que uniría NY con BCN sería una geodésica de la esfera. Esto es que las geodésicas son las curvas que unen dos puntos haciendo 'el mínimo' de recorrido en cualquier superficie que se nos ponga delante. En un plano 'con lo que se tarda menos' para llegar de un punto a otro es una recta, en una esfera 'el camino más corto' es un arco de circumferencia máxima.
Todo lo que esta por aquí escrito y en especial lo de entre '' no tiene ningún rigor científico ni son definiciones matemáticas, son intentos de explicaciones para hacer más entendibles conceptos matemáticos.
Y bueno, mis disculpas por mi última intervención, intento escribir bien Lord, pero ahora al releer el texto veo miles de faltas que van en aumento con el paso de las palabras... se que no es excusa pero mis neuronas se dispersan a medida que el caos avanza en casa...
Ahora que veo desde lejos la longitud de los comentarios me alegro de haber puesto sólo las definiciones... No se que habría pasado con los postulados...
Como ingeniero me identifico desde luego con la "utilidad" de las Matemáticas, es decir, emplearlas como herramienta para el desarrollo de elementos físicos o lógicos (software).
Sin embargo su carácter abstracto es relativo: tanto la forma de las cosas (su geometría) como su cantidad (número) son algo intuitivo.
Ocurre que en definiciones como las de Euclides llegamos nada menos que a la discusión entre finito e infinito. Un punto es infinitamente pequeño, y por tanto para constituir, por ejemplo, una recta, hacen falta infinitos puntos. Sin embargo, una recta es finita (tiene un principio y un fin delimitados por sendos puntos). Por tanto, una recta es un elemento finito constituido a su vez por un infinito número de elementos.
¿O no?
Lamento añadirme tarde a los comentarios, que he seguido con interés. Me gustaría compartir unas reflexiones al respecto:
- Ojo a la diferente aproximación del texto por parte de Joan (ligándolo a las definiciones de Kant), Mira (una aproximación diría que casi histórica, del tipo "no es lo que se usa hoy, pero hay que ver lo que sale de esta lista" y Bartlobio (ingenieril, y es que las mates se transforman en tensiones, datos, fórmulas...). En definitiva, un reflejo de la universalidad del texto, y por extensión, de la disciplina que inaugura.
- El Hombre de hace más de dos mil años ya era capaz de definir la geometría que todos entendemos intuitivamente. Luego la cosa se complica, vale, pero a mí personalmente no deja de impresionarme.
- Sólo me resta añadir que naturalmente las matemáticas son bienvenidas a este blog, como cualquier otra forma de conocimiento que provenga de un libro. O sea, todas ellas. ¿O ya no es así? Precisamente la ciencia ha abandonado la primera el libro por la inmediatez de la revista científica. Un síntoma de la velocidad a la que evoluciona, supongo.
Bueno, la respuesta de Mira me desconcierta en algunos puntos ... Nueva York o Barcelona son entes reales, y el hecho de que para llegar de uno a otro se tenga que seguir un arco de circunferencia es una cuestión de hecho, ligada a limitaciones físicas. Supongo que no es más que un ejemplo ilustrativo y didáctico, porque si la geodésica se refiere a un espacio esférico, la esfera es tan ideal como el plano, y es la propia naturaleza del espacio "físico" la que es curvo, y no las limitaciones físicas de un pedazo de roca, que es en todo caso un ente real. Es decir, la geometría esférica es tan ideal como la del "plano", que es en el fondo lo que ya comentaba Mira en su respuesta. ¿Es así?.
Bueno, no podía dejaros sin algunas respuestas... axins que aquí estoy pese a la falta de tiempo...
Bartlobio, las matemáticas pueden ser de todo menos intuitivas, vuelvo al hecho que no es lo mismo contar o calcular que lo que son en sí mismas. Los Elementos han sido la Geometria hasta hace nada con lo que ya ves que de intuitivo nada... más bien es algo denso y espeso... y bueno, que el finito y el infinito se entrelacen es el pan nuestro de cada día... tampoco le veo gran complejidad al tema, ya no voy a entrar en el tema de que si una recta es algo finito o no... es que si no no acabaremos nunca...
Y a Joan, pues si mi ejemplo de NY i BCN era un ejemplo didáctico para ilustrar el qué de las geodésicas, es lo que tu dices esfera, plano, cinta de Moëbius etc... son 'entes' ideales y nada que ver con el espacio físico, pero es a partir de estos entes ideales que los ingenieros han tenido herramientas para poder 'medir' la realidad y poder hacer sus calculitos...
Un último apunte, la geodésica no es una curva de un plano ni de una esfera, es una curva que 'aparece' en cualquier espacio. Lo siento, intento ser didáctica pero creo que al final lio más que si diese una definición a lo bruto...
Bueno, ha sido bonita esta discusión, gracias a todos...
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